ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΟΥ ΛΟΓΟΥ e/m ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΟΥ

Το ηλεκτρόνιο ανήκει στα βασικά στοιχειώδη σωματίδια. Είναι σημαντικό να γνωρίζουμε τα ακριβή χαρακτηριστικά του. Ένα από αυτά είναι η μάζα του η οποία είναι πολύ μικρή (m_e=9.1093897·10^-31kgr) και πρακτικά αδύνατο να μετρηθεί άμεσα. Ένας τρόπος να υπολογισθεί είναι από το λόγο του φορτίου του προς αυτήν (e/m). Θα προσπαθήσουμε να προσδιορίσουμε το λόγο αυτό με τη βοήθεια του πειράματος που ακολουθεί.

     Ο λόγος e/m μπορεί να προσδιοριστεί μετρώντας μακροσκοπικά μεγέθη. Μια από τις μεθόδους που μπορούν να χρησιμοποιηθούν είναι η μελέτη της κίνησης των ηλεκτρονίων σε μαγνητικά πεδία. Όταν ένα ηλεκτρόνιο με ταχύτητα u εισέρχεται σε χώρο που υπάρχει μαγνητικό πεδίο μαγνητικής επαγωγής Β ασκείται σε αυτό δύναμη Lorentz F:

     Η δύναμη αυτή αναγκάζει το ηλεκτρόνιο να κάνει μια ελικοειδή κίνηση την οποία μπορούμε να μελετήσουμε αναλύοντάς τη στους τρεις άξονες ενός συστήματος αναφοράς του χώρου στον οποίο εισέρχεται. Στην ειδική περίπτωση που το διάνυσμα της ταχύτητας είναι κάθετο σε αυτό της μαγνητικής επαγωγής η δύναμη Lorentz είναι κάθετη και στα δύο αυτά διανύσματα και το ηλεκτρόνιο εκτελεί κυκλική κίνηση στο επίπεδο που ορίζουν τα διανύσματα της ταχύτητας με τη δύναμη. Στην περίπτωση αυτή η δύναμη Lorentz παίζει το ρόλο κεντρομόλου δύναμης και το μέτρο της δίνεται από τη σχέση:

όπου m είναι η μάζα του ηλεκτρονίου και r η ακτίνα της κυκλικής τροχιάς. Από τη σχέση αυτή προκύπτει για το λόγο του φορτίου προς τη μάζα του ηλεκτρονίου:

     Για μικρές ταχύτητες (όπως π.χ. η ταχύτητα ηλεκτρονίων κινητικής ενέργειας 250eV περίπου 0.03c)  η μάζα m του ηλεκτρονίου ταυτίζεται με τη μάζα ηρεμίας του. Από τη σχέση (3) με αντικατάσταση του γινομένου m·u από την ορμή p και για φορτισμένα σωματίδια γενικά έχουμε:

όπου p είναι η ορμή των ηλεκτρονίων και q το φορτίο τους. Το γινόμενο B·r ονομάζεται μαγνητική ακαμψία δέσμης φορτισμένων σωματιδίων και είναι ανάλογο της ορμής τους. Για τον ακριβή προσδιορισμό της μαγνητικής ακαμψίας πρέπει να γίνονται σχετικιστικές διορθώσεις όπου αυτές χρειάζονται.

     Η πειραματική διάταξη αποτελείται από μια λυχνία που περιέχει αέριο υδρογόνο σε χαμηλή πίεση. Στη λυχνία βρίσκεται ένα πυροβόλο ηλεκτρονίων για τη δημιουργία λεπτής δέσμης και μια διάταξη από στυλίσκους με επικάλυψη φθορίζοντος υλικού. Η λυχνία βρίσκεται μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο που δημιουργείται από ένα ζεύγος πηνίων Helmholtz (τα πηνία Helmholtz είναι δύο πηνία όμοια μεταξύ τους που η ακτίνα τους είναι ίση με τη μεταξύ τους απόσταση). Το πυροβόλο και τα πηνία τροφοδοτούνται από κατάλληλα τροφοδοτικά ενώ υπάρχουν και όργανα μέτρησης της τάσης επιτάχυνσης της δέσμης και του ρεύματος των πηνίων.

     Τα ηλεκτρόνια που παράγονται στη θερμαινόμενη κάθοδο του πυροβόλου επιταχύνονται από τη διαφορά δυναμικού ανόδου-καθόδου V_A η οποία ρυθμίζεται από τροφοδοτικό 0-300V. Στη συνέχεια κινούνται κάτω από την επίδραση του μαγνητικού πεδίου των πηνίων διαγράφοντας κυκλική τροχιά. Η τροχιά τους είναι κυκλική γιατί φροντίσαμε η δέσμη να εισέρχεται  κάθετα στο μαγνητικό πεδίο. Καθώς κινούνται τα ηλεκτρόνια συγκρούονται με τα άτομα του υδρογόνου που υπάρχουν στο εσωτερικό της λυχνίας και αλληλεπιδρούν με αυτά. Οι ενέργειες των ηλεκτρονίων της δέσμης είναι κατά μία τάξη μεγέθους μεγαλύτερες από τις ενέργειες διέγερσης και ιονισμού των ατόμων του υδρογόνου, ικανές δηλαδή να διεγείρουν και να ιονίσουν τα άτομα του υδρογόνου. Τα άτομα του υδρογόνου εκτελούν και αυτά άτακτη κίνηση Braun. Ο χρόνος αποδιέγερσής τους όμως είναι της τάξης 10^-9-10^-8sec με αποτέλεσμα να μην προλαβαίνουν να απομακρυνθούν μέχρι  την αποδιέγερσή τους από το σημείο πρόσκρουσης. Κατά την αποδιέγερσή τους εκπέμπουν ακτινοβολία και στο ορατό φάσμα και έτσι είναι δυνατό να παρατηρήσουμε την τροχιά των ηλεκτρονίων. Επειδή το αέριο είναι σε χαμηλή πίεση το φαινόμενο παρατηρείται καθ’ όλη τη διάρκεια της κίνησης των ηλεκτρονίων μέσα στη λυχνία. Για αυτούς τους λόγους επιλέχθηκε αέριο υδρογόνο σε χαμηλή πίεση.

     Κάθετα στη διεύθυνση των εξερχόμενων ηλεκτρονίων υπάρχει μια σειρά από φθορίζοντες στυλίσκους σε ορισμένες αποστάσεις. Τα ηλεκτρόνια αφού διαγράψουν μισή κυκλική τροχιά περνάνε από τη διάταξη των στυλίσκων οι οποίοι φθορίζουν όταν τα ηλεκτρόνια προσπίπτουν πάνω τους. Εξαιτίας αυτής της διάταξης η ακτίνα της κυκλικής τροχιάς r των ηλεκτρονίων είναι ίση με τη μισή απόσταση d των στυλίσκων από το πυροβόλο. Οι αποστάσεις d των στυλίσκων παρουσιάζονται στον πίνακα Ι.

Πίνακας Ι. Αποστάσεις στυλίσκων από την οπή ανόδου του πυροβόλου.

Η κινητική ενέργεια των ηλεκτρονίων τη στιγμή που εξέρχονται από το πυροβόλο δίνεται από τη σχέση:

Από τη σχέση (5) προκύπτει για την ταχύτητα των ηλεκτρονίων τη στιγμή που εξέρχονται από το πυροβόλο:

Η ένταση του μαγνητικού πεδίου στο κέντρο των πηνίων δίνεται από τη σχέση:

όπου: μ₀=1.256·10^-6Τm/A είναι η μαγνητική επιδεκτικότητα του κενού, Ν ο αριθμός σπειρών του κάθε πηνίου, Ι η ένταση του ρεύματος που διαρρέει τα πηνία σε Ampere και α η ακτίνα  των πηνίων. Από τις σχέσεις (3), (6) και (7) προκύπτει για το λόγο e/m:

     Κατά την πειραματική διαδικασία θέσαμε σε λειτουργία τη διάταξη και παρατηρήσαμε την κυκλική τροχιά των ηλεκτρονίων. Στη συνέχεια δώσαμε μεταβολές στην ανοδική τάση και στην τάση που τροφοδοτούσε τα πηνία παρατηρώντας τη συμπεριφορά της δέσμης. Φροντίσαμε με διάφορους συνδυασμούς να πέφτει η δέσμη σε κάποιο στυλίσκο καταγράφοντας κάθε φορά τις τιμές της ανοδικής τάσης και του ρεύματος που διέρρεε τα πηνία. Την ανοδική τάση μετρούσαμε με ψηφιακό βολτόμετρο ακρίβειας 1V και αυτήν την τιμή θεωρήσαμε ως σφάλμα μέτρησης. Το ρεύμα στα πηνία το μετρούσαμε με αναλογικό αμπερόμετρο κλίμακας 0-3Α με διαγράμμιση ανά 0.1Α. Ως σφάλμα μέτρησης θεωρήσαμε τη μισή τιμή της διαγράμμισης δηλαδή 0.05Α. Η ακτίνα της κυκλικής τροχιάς, όπως αναφέραμε και παραπάνω, είναι το μισό της απόστασης του στυλίσκου στον οποίο πέφτει η δέσμη από την οπή του πυροβόλου. Ως σφάλμα στην τιμή της ακτίνας θεωρήσαμε περίπου το μισό πάχος του στυλίσκου δηλαδή 0.5mm. Ο αριθμός των σπειρών των πηνίων ήταν Ν=154 και η ακτίνα των πηνίων α=0.2m. Οι μετρήσεις μας παρουσιάζονται στον πίνακα ΙΙ.

Πίνακας ΙΙ. Μετρήσεις ανοδικής τάσης και ρεύματος πηνίων.

     Με βάση αυτές τις μετρήσεις υπολογίσαμε την ένταση του μαγνητικού πεδίου Β και το λόγο e/m για τον κάθε συνδυασμό τάσης, ρεύματος και ακτίνας που κάναμε. Οι τιμές που υπολογίσαμε παρουσιάζονται στον πίνακα ΙΙΙ.

Πίνακας ΙΙΙ. Τιμές έντασης του μαγνητικού πεδίου Β και λόγου e/m που υπολογίσαμε.

Το σφάλμα για την κάθε τιμή e/m υπολογίστηκε από τη σχέση:

Η μέση πειραματική τιμή του λόγου e/m με βάση τις τιμές του πίνακα ΙΙΙ είναι:

Το σφάλμα στη μέση πειραματική τιμή με βάση τα σφάλματα των τιμών e/m είναι:

Με βάση τους παραπάνω υπολογισμούς, προκύπτει από τις πειραματικές  τιμές μας ότι ο λόγος του φορτίου του ηλεκτρονίου προς τη μάζα του είναι e/m=(1.845±0.047)·10¹¹Cb/kgr (πραγματική τιμή e/m=1.758·10¹¹Cb/kgr).

     Από τον πίνακα ΙΙΙ παρατηρούμε ότι οι τιμές το μαγνητικού πεδίου εξαιτίας των πηνίων Helmholtz είναι της τάξης 10^-3Τ. Η ένταση του μαγνητικούπεδίου της γης γνωρίζουμε ότι είναι της τάξης 10^-4Τ. Η διαφορά αυτήστη μία τάξη μεγέθους είναι αρκετή ώστε να μην επηρεάζει σημαντικά το μαγνητικό πεδίο της γης την εξέλιξη του πειράματος.

Αρχείο .pdf για κατέβασμα